Euler’s Pi Prime Product and Riemann’s Zeta Function
オイラーからの贈り物～ゼータのDNA～
2019-10-22 mattyuuの数学ネタ集
素数は一見、不規則で無秩序のように見えるのですが、数学者たちは長い歴史の中で素数達が織りなす美しい秩序を発見してきました。そしてオイラーも1737年に美しい秩序を発見するのです。
ゼータ関数は「自然数の和」の形のように表せるとお話ししたのですが、なんと「素数の積」の形でも表せます。これをゼータ関数のオイラー積表示と呼びます。
https://mattyuu.hatenadiary.com/entry/2019/10/22/144809
巨大な素数の一覧
ウィキペディア（Wikipedia） より
2018年12月の時点で「素数として確認された最大の数」は 282,589,933 - 1 である。この素数は2486万2048桁の長さを持ち、2018年12月に Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) によって発見された。
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
1742万5170桁――現在知られている最大の素数の桁数 より
（最新は2486万2048桁）
2以上の整数のうち、1と自分自身でしか割り切れない自然巣（正の整数）を素数と呼ぶことは、小学生5年生の算数教科書にも登場するので誰でも知っている。だがその素数、じつはなかなか奥が深い。「素数は近代数学の中心課題」と表現する数学者もいるほどだ。素数に関しては、たくさんの数学者が挑戦しながら何世紀にもわたって未解決の問題もある。素数の世界の不思議と奥深さを少しばかり味わってみよう。
素数を小さいほうから並べてみると、 2、3、5、7、11、13、17、19……と続き、1000までには168個が現れる。3と5、11と13のように隣接していてその差が2の素数を「双子素数」、3、5、7のように3つ並ぶ場合を「3つ子の素数」と呼んでいる。
いったい素数は全部でいくつあるのだろう。有限個しかないのか、それとも無限にあるのか。この問題について最も古い証明がユークリッド（エウクレイデス）の『原論』の第9巻命題20に登場する。『原論』は古代ギリシャ語で記された数学書で、紀元前300年ごろエジプトのアレキサンドリアで編纂された。ここで、ユークリッドは歴史上はじめて背理法を用いて「素数は無限にある」ことを次のように証明してみせた。
仮に素数は有限個しかないとしよう。それをn個とする。素数をPで表したとき、P1 = 2、P2 = 3となり、最大の素数はPnと表せる。Pnまでの素数をすべて掛け合わせ、それに1を加えた数mを考えてみよう。これを数式で表すと次のようになる。
m = 2 x 3 x 5 x …… x Pn + 1
このとき、mはどの素数でも割り切れない。すなわちそれ自身が素数である。すると最大の素数より大きい素数が存在することになり、冒頭の仮定に矛盾が生じる。素数は有限個しかないとした仮定が誤りであり、したがって、素数は無限に存在するとこが証明された。
素数が無限にあることの証明は背理法によるもの以外にもさまざまあり、スイスの数学者オイラー（1707～1783）の証明やオランダの数学者スティルチェス（1856～1894）の証明がよく知られている。
並んでいる素数を見ると、100までには25個、101から200までは21個と、はじめはかなり頻繁に現れるが、次第に出現頻度は低くなり、さっぱり出てこない素数砂漠が広がり始める。いったい素数はどんな間隔で出現するのだろう。何が規則性があるのだろうか。あるいはまったくランダムに現れるのだろうか。これも古くから天才たちが考えてきたテーマだった。なかでも、オイラーとドイツの数学者ガウス（1777～1855）はこの問題に情熱を掲げた。素数には数学者たちを虜（とりこ）にする不可思議な魔力があるらしい。オイラー以降、素数は数学の重要なテーマとして展開していく。
オイラーは素数を10万超まで並べた表をつくり、「オイラー積」と呼ばれる興味深い等式を見つけ出した。それは、自然数の2乗の逆数の和は素数に関する次のような（画像参照）数の積に等しく、いずれも円周率Π（パイ）の2乗を6で割った数になるというものだ。
