じじぃの「2つの封筒問題・期待値・交換のパラドックス！逆説の雑学」

【2つの封筒問題】未解決の確率パラドックスは何が未解決？

動画　YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=3emYz2jFRzk

2つの封筒問題：交換のパラドックス - その、期待できない「期待値」

2019.03.31　遅読猫の毛玉
【問題Ａ】
　ここに二つの封筒がある。
　今あなたは一つの封筒を手にとった。
　中を確認すると１万円が入っていた。
　ここであなたは次のような提案をされる。
　「あなたはその１万円入りの封筒をそのままもらうこともできますが、
　　その１万円を元手にゲームをすることもできますよ。
　　そのゲームでは、コイントスして、表が出れば２万円が貰えます。
　　でも、裏が出たら 5000円しか貰えません。
　　どうしますか？」
　あなたは、このゲームを辞退すべきか、それとも乗るべきか？

【答】
　　このゲームをした場合の期待値を計算すると、
　　　5000×1/2 + 20000×1/2 = 12500円
https://philonous.blog.fc2.com/blog-entry-54.html

『絵解きパラドックス』

高橋昌一郎／監修　Newton別冊　2014年発行

確率のパラドックス　交換のパラドックスより

封筒を交換すると両方とも得をする!? より
まず最初の問題。今あなたは封筒を受け取った。その中には1万円が入っていた。ここで先ほど封筒をくれた人があなたに以下のような提案をしてきた。

「あなたはその1万円入りの封筒をそのままもらうことができます。でも一度返却してもらえば、金額が倍になるチャンスがあります。コイン投げで表が出れば2万円になって戻ってきます。ただし、裏が出たら5000円になります」。

要は、このゲームに1万円を出す価値があるかを考えればよいわけだ。期待値を計算すると、2万円を得る確率と5000円を得る確率はそれぞれ半々なので、

　　2万円 X 1/2 + 5000円 X 1/2 = 1万2500円

となる。よって期待値が1万円よりも大きくなるので、このゲームに乗るべきである。これについては問題ないだろう。

では、以下のケースではどうだろうか？
ここに2つの封筒A、Bがある。どちらかの封筒にはもう一方の2倍の金額が入っている。今あなたは封筒Aを手にとった。中を確認すると1万円が入っていた。あなたはこのことから、もう一方の封筒Bには、5000円、もしくは2万円が入っていることがわかる。

ここで、あなたは封筒Aを封筒Bに交換してもよいといわれる。その場合の期待値は、最初の問題と同様の計算で1万2500円となり、やはり交換するほうが得である。はたしてこの考えは正しいのだろうか？

たとえば、参加者がもう1人いて、あなたは封筒A、もう1人は封筒Bを手にとって、それぞれ中身を確認した設定で考えてみよう。もう1人の参加者の立場からみれば、あなたと同じように期待値を計算して「交換したほうが得」という期待値ができてしまう。すると両者とも交換そたほうが得ということになってしまう。しかし、実際には、交換すれば必ずどちらかが得をして、もう一方は損をするはずである。

このパラドックスは「交換のパラドックス」、あるいは「封筒のパラドックス」などとよばれている。一見、不合理に思えるが、先ほどの期待値の計算結果は正しく、両者ともにこのゲームに乗るべきである。期待値は両者ともに必ず得をするということではなく、あくまで計算上期待される数値である。得をすることもあれば損をすることもあるのだ。