数学ミステリー白熱教室 第3回 動画 Dailymotion
http://www.dailymotion.com/video/x3g3303
谷山豊
調和解析
日本の天才数学者､谷山豊が得た奇跡の着想 2015年11月30日 東洋経済オンライン
●｢数学の大統一｣に日本人が大貢献していた
NHK Eテレ『数学ミステリー白熱教室』の第3回（11月27日23時放送）は、「夭折した日本の数学者が、数学の大統一に果たした役割」だった。ラングランズ・プログラムの核心に迫り、「数論と調和解析の不思議なつながり」を探ることがテーマだった。フレンケルは、簡単な例を見てもらうことで、数学の異なる分野がつながるとはどういうことなのかを感じ取ってほしいという。
「志村・谷山・ヴェイユ予想」という予想に貢献した日本の数学者について、フレンケルは感動的に語っている。
そう、夭折した日本の数学者、谷山豊が登場するのだ。谷山は、この予想を1955年に日光で行なわれた数論の国際学会の最中に着想しながら、その三年後に自殺してしまう。志村が谷山のアイデアを発展させきちんとした形にし、ヴェイユがそれを広めたのだ。
http://toyokeizai.net/articles/-/94506
谷山豊 ウィキペディア（Wikipedia）より
谷山 豊（たにやま とよ（ゆたか）、1927年11月12日 - 1958年11月17日）は、日本の数学者。
もともと名前は「とよ」と読むのが正しいものの、「ゆたか」と読み間違える人が多かったので、いつからか自ら「ゆたか」と名乗るようになったという。そのため世界的には「ユタカ・タニヤマ」の名前で知られている。
埼玉県加須市（旧：騎西町）出身。開業医の家庭に生まれる。旧制浦和高等学校時代に高木貞治の『近世数学史談』を読んで、数学者を志すようになる。
東京大学理学部数学科、大学院、数学科助手を経て、1958年に東京大学助教授に就任。同年、婚約が決まりプリンストン高等研究所から招聘を受けてまもなく、自宅アパート・静山荘で31歳でガス自殺。
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数学ミステリー白熱教室 第3回「フェルマーの最終定理への道 〜調和解析の対称性〜」 2015年11月27日 NHK Eテレ
【講師】エドワード・フレンケル（カリフォルニア大学バークレー校教授）
350年以上にわたり誰も解けなかった世紀の難問「フェルマーの最終定理」は、もともと「数論」の分野の未解決問題だった。
だがその問題を「調和解析」という分野とつなげ、「調和解析」の言語に翻訳した瞬間、その難問は解決されたのだった（ワイルズとテイラーによる1995年の証明）。
実は、「数論」と「調和解析」という二つの分野をつなぐことに最も力を尽くしたのは日本人数学者だった（「志村・谷山･ヴェイユ予想」）。「調和解析」の対称性に着目したこの予想は「ラングランズ・プログラム」の一部であり、中核的な役割を果たすものだという。
講義では、フレンケル教授が、誰も気づかないミステリアスな“つながり”を最初に発見した日本人数学者・谷山豊の人生をたどる。31歳で生涯を閉じた谷山の人生を見ると、数学が無味乾燥なつまらない存在ではなく、人間のパッションや創造性、そして心動かす人生の物語だということが分かるという。
http://www.nhk.or.jp/hakunetsu/math/detail03.html
11月27日 NHK Eテレ 数学ミステリー白熱教室 第3回「フェルマーの最終定理への道 〜調和解析の対称性〜」 より
これはフェルマーの最終定理だ。
xn + yn = zn
nは固定された整数、3,4,5,・・・
x,y,zがこの方程式の未知数となる。
フェルマーの最終定理は、この正の整数x,y,zが存在しない、ということを表している。
ところでなぜnは3や4？ 2でもいいんじゃないか？
n = 2のときを考えてみよう。
x2+y2=z2
最初の講義で紹介した、ピタゴラスの定理に出てくる式。直角三角形。ではこの式について考えてみよう。
x,y,zは存在するだろうか？
ピタゴラス数と呼ばれる数がそれにあたる。
１つ目はx=3,y=4,z=5だ。5,12,13もそう。
これが書かれたディオファントスが書いた算術という本をフェルマーが読んでいたとき、この式でn=2より大きいときはどうなるだろうか、と思った。
フェルマーはその本の余白に有名な、「私は真に驚くべき証明を見出したが、余白が狭すぎるので書くことはできない」と書いた。
でも、なかなかうまい手だ。その後、フェルマーは何も残していない。
n = 4の証明はしたんだが、それ以外はない。
1995年に証明されたのだが、350年もかかったことになる。
しかもそれはフェルマーの最終定理を直接証明したのではなく、志村・谷山・ヴェイユ予想を証明したのだ。
志村・谷山・ヴェイユ予想を証明すればフェルマーの最終定理を証明することになる。
すでにこのとき志村・谷山・ヴェイユ予想は有名だった。
最終的に、アンドリュー・ワイルズとリチャード・テイラーが1995年に志村・谷山・ヴェイユ予想を証明した。
ここで予想とはどういうことをいうのか説明する。
どうやら真実とは思われるがはっきりとは分からない、証明がないもの。
フェルマー定理と呼ばれているが、本当は予想だった。
志村・谷山・ヴェイユの場合も予想と呼ばれていた。
ラングランズプログラムも同様だ。いくつもの予想で構成されている。
なぜ、志村・谷山・ヴェイユ予想について話しているか、と言うと、ラングランズプログラムの特殊なケースに当たるからだ。
ここで数学の概念を紹介しよう。時計算術だ。
この目覚まし時計の電源を入れよう。
アナログ時計が良かったんだが、デジタル。
時計は１時から12時しかない。
13は１に、14は2に、これが時計算術。モジュロ演算とも呼ぶ。
15 = 3 (modulo 12)
素数とは何かを思い出すと、１と自分自身以外で割り切れない正の整数だ。ちなみ１は慣例として含めない。
最初の素数は2、次が3、5、7。次は11。
素数は数の原子のようなものだ。すべての整数は素数から作ることができるからだ。
60 = 22*3*5
など。
例えば7時間時計を考える。0,1,2・・・6と目盛りが。
解を見つけるといってもどの範囲で見つけるかが重要。
例えばフェルマーの最終定理は正の整数の範囲で。
でも違う範囲なら、例えば、
y2 = x3 - 3*x + 5
という3次方程式の解が求まるかもしれない。
この方程式では正の整数全体から探しているのではなくて、素数pを法とする解を求めようとしている。
ということは必ずしも右辺と左辺が等しくなくていい。pの整数倍だけ変わっていてもいい。
さまざまな3次方程式が素数pを法とする解を持つか？
そして、解の個数はいくつか？
これが志村・谷山・ヴェイユ予想に登場する問題だ。
あらゆる時間の時計が必要になる。素数は無限にあるので、1つの方程式に対して無限回の計算をしないといけない、志村・谷山・ヴェイユ予想ではそういう問題を考える。
例えばp = 5の時、
y2 + y = x3 - x2 modulo 5
を考える。この場合、4つの解があることが分かっている。
x=0,1,2,3,4を考えよう。yも同じ。
これらを入れてみたら？ 25通りあるので手計算でも計算できる。
x=0, y=0
x=0, y=4 (20=0 modulo 5)
x=1, y=0
x=1, y=4
だ。
１つ１つの素数ごとに解の個数を確かめる。
表にまとめると、
素数p：2,3,5,7,11,13
解の個数S(p): 4,4,4,9,10,9
p-S(p) : -2, -1, 1, -2, 1, 4
最後のは素数から解の個数を引いたもの。
素数の値が大きくなると計算が膨大になる。
規則性はある？ 一見するとないように見えるが、奇跡が起きた。ランダムじゃない。
これは、p-S(p)は調和解析に登場する、たった１行の数式で知ることができる。
その数式とは、
q*(1-q)2*(1-q11)2*(1-q2)2*(1-q22)2*(1-q3)2*(1-q33)2*(1-q4)2*(1-q44)2*・・・
だ。
私はこれを奇跡と呼びたい。
この式はどのように作られているか。いくつかの単純な数式を組み合わせたもの。
まずはq。ただの変数だ。
次に、
q*(1-q)2*(1-q2)2*(1-q3)2
を考える。さらに11の倍数の式を掛ける。
↓ （続き）
http://d.hatena.ne.jp/cool-hira/20151130/1448831223
