じじぃの「未解決ファイル_222_2乗の世界」

力学導入22ー万有引力の法則 1/2 動画 YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=kwXNesWiFPo
E=mc2アインシュタインと世界一美しい方程式〜 動画 YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=lqhelZjaAGs
世界は2乗でできている 自然にひそむ平方数の不思議 小島寛之 講談社
同じ数を2回掛けると現われる「平方数」には、数の「遊び心」や物理現象の秘密がかくれている。ピタゴラスガウスフェルマー、リーマンら偉大な数学者の業績に見える平方数から、ガリレイ、ボーア、アインシュタインら偉大な物理学者が見いだした自然法則まで、平方数に秘められた不思議で深遠な世界をわかりやすく紹介する。
http://bookclub.kodansha.co.jp/bc2_bc/search_view.jsp?b=257819
『感動する!数学』 桜井進/著 PHP文庫 2009年発行
短いほど美しい「公式」 (一部抜粋しています)
数学の美しさを語るときには、いろいろな視点があると思います。
シンメトリーで美しい公式、短い公式、一見複雑そうに見えて、じつはとても簡潔に展開することができる公式・・・。
想像を絶する高度な議論から生まれたアインシュタインの公式や、最近めざましい発達をとげている量子力学でも、できあがる公式は非常に短いのです。これでもかというぐらい短い公式の中に、ギュッと宇宙の法則が詰め込まれてしまうというのがじつに驚きで、そこにたとえようのない美しさを感じてしまいます。
ここでは短い公式の美しい実例を、いくつかあげて見ていくことにしましよう。
アインシュタインの「特殊相対性理論」の式
アインシュタインの「特殊相対性理論」では、たったこれだけで、あらゆる物体に含まれる、あらゆるエネルギーが表現されてしまう公式が発表されました。
「質量」 X 「光の速度」の2乗という、途方もなく簡単といえば簡単な数式です。
 E = mc2
まさにシンプル・イズ・ビューティフル!
数学者たちが心血を注いでたどり着いた真実は、たった1行で、わずか数文字で表わされてしまいます。偉大な数学者、物理学者たちの情熱には、あらためて敬服してしまいます。

                            • -

白熱教室 「第3回 宇宙膨張 驚異の発見 〜ダークマターへの道のり〜」 2014年7月4日 NHK Eテレ
【講師】アリゾナ州立大学 宇宙物理学 ローレンス・クラウス教授
▽宇宙膨張 驚異の発見
さて、第3回からはいよいよ宇宙論の最大の謎へと迫っていく! まずは、1920年代にエドウィンハッブルによってなされた宇宙膨張の発見。
これは、未来永劫にわたり静的だと思われていたそれまでの宇宙像を一変させた。そして、宇宙には始まりがあるという事実を私たちに突きつけ、同時に宇宙の未来はどうなるのかという新たな疑問を投げかけた。つまり、宇宙の膨張はこのまま永遠に続くのか? それともやがて収縮に転ずるのか? という謎だ。クラウス教授は、それを知るためには宇宙にどの程度のエネルギーが存在しているかを知る必要があると力説し、白板を前に数式を駆使したエネルギーの解説を始める。そして、たどり着くのは、なんと予想外の未知の物質=ダークマターの存在! 驚天動地の最先端宇宙論への扉を開く。
http://www.nhk.or.jp/hakunetsu/cosmology/140704.html
7月4日 NHK Eテレ 白熱教室 「第3回 宇宙膨張 驚異の発見 〜ダークマターへの道のり〜」より
「宇宙は膨張している」という事実の発見。
1929年のことだ。それ以前の科学者たちは宇宙は永遠に変化しないいわば「静かな存在」だと考えていた。
だが、1929年全てが変わった。「宇宙には始まりがあった」という事実が明らかになったんだ。
それは「宇宙の終わりはどうなるのか」という新たな疑問まで生み出した。
その全てを変えた男は私の偉大なるヒーローの一人だ。
エドウィン・ハッブルアメリカの天文学者で、私たちの銀河系以外にもたくさんの銀河が存在することを初めて発見した人でもある。
実は、1925年ごろまでは、宇宙にはたった1つの銀河しかないと思われていた。たった1つだ。
宇宙には私たちの住む銀河系しかないと思われていたわけだから、その後の宇宙観の変化がいかに大きなものだったか分かるだろう。
ハッブルは望遠鏡を駆使した観測で他にも多くの銀河が存在することに気づいた。
それ以前は天文学者たちが「星雲」と名付けたぼんやりとしたものが見えていただけだった。
ハッブルはそのぼんやりとしたものは実は、私たちの銀河系の外にある別の銀河だという事実を突きとめたんだ。そして、彼はさらに驚くべき事実を発見した。
それらの銀河は私たちから遠ざかっていたんだ。
彼の発見はこんなイラストで表すことができる。私たちの銀河系がこのイラストの真ん中にあるとするとそれぞれの銀河はおおむね私たちから遠ざかっているということだ。
ちなみに私たちのそばにあるアンドロメダ銀河は重力の作用で近づいてきている。でも視野を広げてみると銀河は私たちから遠ざかっているんだ。
そして、驚くべきことに2倍遠い所にある銀河は2倍の速度で遠ざかっていて3倍離れた銀河は3倍速く遠ざかっている。
数式で表せば「速度は距離に比例する」ということだ。
ハッブルが発見したこの比例定数はハッブルにちなんで「ハッブル定数」と呼ばれている。
さてこのイラストは一見すると別のことを表しているように見える。
それは宇宙が膨張しているというよりも私たちは宇宙の中心にいるんじゃないかということだ。
問題は私たちが自分たちを中心に物事を考えてしまいがちだということだ。
でも前回までに学んだ「物理学者の道具」を使えば表面的なことに惑わされずその奥に隠された真実を見つけ出すことができるようになる。
そのためには私たちは自己中心主義を捨てなければならない。
そこで宇宙を単純化してもし宇宙が2次元だったらと考えてみよう。
これは銀河の1つ1つを〇として描いたものだ。
前回の講義に出てくれた人にとっては牛の群れ(〇)に見えるかもしれない。
左側は等間隔に銀河を配置したもので右側はそれがその後膨張し銀河同士が離れた様子を表している。
こうして宇宙全体を俯瞰して見ることができれば右側の図が左よりも膨張していることは明らかだ。
では、この中の1つの銀河を選んでそこから宇宙を眺めると一体どう見えるのか。
選んだ銀河を中心に2つの図を重ねてみると、ハッブルが見た宇宙とちょうど同じように見えるようになる。
2倍の距離にある銀河は2倍速く遠ざかっているし、3倍離れた銀河は3倍速く遠ざかっている。
ここで重要なのはどの銀河を選んでも結果は同じだということだ。例えばこれを選んでも同じことが起きる。
ハッブルの観測結果は私たちが宇宙の中心ではないこと、いや宇宙には中心がないことを明らかにしたとも言える。
楽観主義者なら「どこもが宇宙の中心だ」と言うかもしれない。
ハッブルのこの重要な発見は宇宙観を一変させた。
君たちにはその発見がどのようになされたのかを教えよう。
ハッブルによると「銀河の遠ざかる速度」は「その銀河までの距離」に比例する。
これは銀河を観測することによって発見されたものだ。つまり、銀河の「速度」と「距離」を測定する必要があった。
では、まず「速度」の測定だが、これは簡単だ。
ここフェニックスに住むこの2人の男性だって知っている。
列車が通り過ぎるのを見ながら彼らはこんな会話をする。彼らが何のことを話しているのかは君たちの多くにも分かるだろう。
列車が目の前を通り過ぎる時、汽笛の音色が高い音から低い音へと変わる。
列車がこっちに向かってくる時は音の波長が押し縮められ、一方遠ざかる時は引き伸ばされるからだ。
実は、光に関しても同じことが言えるんだ。物体が私たちから遠ざかっているとその物体から放たれる光の波長は引き伸ばされる。
引き伸ばされて色で言うと赤みがかって見えるようになるんだが、これを「赤方偏移」という。
恒星は光を放つ。例えば太陽も光を放っている。
ニュートンのすばらしい発見の1つは星は7色の光を放っているということだ。私たちはその7つの色を見ることができてそれを「スペクトル」と呼んでいる。
星が私たちから遠ざかるとそのスペクトルの帯が全体に長い波長の方赤の方にずれる。赤色の度合いによって銀河がどれくらいの速度で動いているのかが分かる。ある銀河の赤方偏移の度合いを調べればその銀河の遠ざかる速度が分かるんだ。
「速度」を測るのは簡単だと分かったが、問題は「距離」だ。
銀河までの距離をどう測るか。長い巻き尺があるわけでもない。だからこれも物理学を使おう。
では、この部屋の明かりを100ワットの電球1つを残して全て消したと考えてくれ。
ここで重要なのは電球の見た目の明るさは電球からの距離の2乗に反比例して減少するということだ。
つまり、今この場所での見た目の明るさは1ワットだったとすると電球の本来の明るさは100ワットと分かっているからちょっと計算すれば電球からの距離が分かるはずだ。
もし、宇宙が100ワットの電球ばかりで出来ていたら話は早いんだが、そうではないので本来の明るさが分かっている星を見つけなければならない。
「標準光源」と呼ばれるものだ。だが、それを探すのがとても難しかった。
標準光源さえあれば、その光の本来の強さは分かっているので見た目の明るさから星までの距離が分かるはずだった。でも完璧な標準光源はなかった。
これはハッブルが調べ上げたさまざまな銀河の速度と距離のデータだ。
ハッブルがすばらしかったのはこの一見バラバラなデータを見て距離と速度は比例するということを見抜きそれを示す直線を引いたことだった。
彼は正しい推測をしたんだ。
だが実は、距離を10倍間違えて測定していた。彼の時代には信頼できる標準光源がなく距離を測るのが難しかったからだ。でも今我々は信頼できる標準光源を知っている。
この写真は私のお気に入りの1枚だ。
この銀河は私たちからものすごく遠い場所にある。
数千万光年も離れた距離にあるので、その光が私たちの所に届くまで何千万年もかかる。
この銀河は私たちの銀河と同じように渦を巻いていてその中には1000億もの星がある。そして、この端っこの方に銀河の中心と同じくらいの明るさで輝いている星が映っている。
この星はより手前にある私たちの銀河系の中の星が映りこんだものではない。この銀河の端っこで普通の星の100億倍の明るさで輝いていたんだ。
これは「超新星爆発」と呼ばれる現象で、いわば宇宙で最も明るい花火だ。

                            • -

どうでもいい、じじぃの日記。
7月4日、NHK Eテレ 白熱教室 「第3回 宇宙膨張 驚異の発見 〜ダークマターへの道のり〜」を観た。
「銀河」の質量の求め方が出てきた。
ニュートン万有引力の法則から、星や銀河の重さが求められる。
宇宙講義にはやたらと「xxの2乗」が出てくる。
「世界は2乗でできている」のだ。よくわからんが。