じじぃの「人の死にざま_1085_CF・ガウス」

カール・フリードリヒ・ガウス - あのひと検索 SPYSEE
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Complex Numbers, Part 8 - Carl Friedrich Gauss 動画 YouTube
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標準正規分布確率密度関数と分布関数のグラフを作成する 動画 YouTube
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ニュートンプレス出版-新刊/近刊案内
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カール・フリードリヒ・ガウス ウィキペディアWikipedia)より
ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウスラテン語: Carolus Fridericus Gauss)(1777年4月30日 - 1855年2月23日)はドイツの数学者、天文学者、物理学者である。彼の研究は広範囲におよんでおり、特に近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。数学や磁気学の各分野には彼の名が付いた法則、手法等が数多く存在する。18-19世紀最大の数学者の1人である。
【思想とおもな業績】
1818年にハノーファー王国の測量をする測定装置のために、後に大きな影響を与えた正規分布についての研究を始めた。これは測量結果の誤差に関する興味からである。またこのときの測量成果の取りまとめに当たり考案した、等角写像による地球楕円体表面から平面への地図投影法はガウス・クリューゲル図法として今日においても世界各国で活用されている。
測量への興味から曲面論を創始し、後のリーマン幾何学に影響を与えた。1828年に、曲面の面積と対応する単位球面の面積の無限小比として意味付けられる曲率(今日ではガウス曲率(英語版)と呼ばれる)が、曲面の内在的量にのみ依存することを示し、ラテン語で Theorema Egregium(驚異の定理)と呼んだ。この定理は、微分幾何学においてガウスの基本定理、あるいは単にガウスの定理とも呼ばれる。
最小二乗法 ウィキペディアWikipedia)より
最小二乗法(least squares method)は、測定で得られた数値の組を、適当なモデルから想定される1次関数、対数曲線など特定の関数を用いて近似するときに、想定する関数が測定値に対してよい近似となるように、残差の二乗和を最小とするような係数を決定する方法、あるいはそのような方法によって近似を行うことである。

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ニュートン別冊 数学の世界』 2013年2月発行
カール・フリードリヒ・ガウス 「さまざまな数学の分野を開いた近代数学の始祖」 (一部抜粋しています)
カール・フリードリヒ・ガウスは、プロシア北部のハノーバーに近いブラウンシュヴイクに生まれた。ガウスは「自分は話はじめる前にもう計算した」と語っている。彼の計算の才能は生まれつきのものであった。10歳のときに学校の先生が出した「1から100までの数字をすべて足すといくつか?」という問題を即座にといて先生をおどろかせた。ガウスは、1 + 100 = 101、2 + 99 = 101、3 + 98 = 101、・・・49 + 52 = 101、50 + 51 = 101というように101が50個できるので、101 X 50 = 5050と計算したのだ。その後はこの先生の友人であったバーテルスが、代数学の指導者となった。
バーテルスはブラウンシュヴイク公であったフェルディナンド公爵に話をし、ガウスは公の財政的援助によって、カロリン高等学校およびゲッチンゲン大学を終えることができた。その後も公は、ガウスに年金をあたえて彼に研究をつづけさせた。公が亡くなると、当時すでに世界最大の数学者となっていたガウスにゲッチンゲン天文台長のいすが用意用意された。
ガウスは高等学校在学中から整数論の研究をはじめ、「最小二乗法」の発見をした。測量などでは多数の測定がなされ、未知数の数よりもはるかに多数の方程式が得られる。こういう場合に最も確からしい未知数の値を推定する方法が最小二乗法である。
また19歳のガウスは定規とコンパスだけを使って正17角形を作図する方法を発見した。ガウスは自身の数学的発見を記した科学日記につけていたが、その結果をめったに公表しなかった。この日記が公表されたのは、ガウスの死後43年後であった。その内容はおどろくべきもので、当時の数学界よりもガウスが約1世紀進んでいたことを示していた。
1799年にガウスが博士号を受けた論文は、「代数学の基本定理」に関するものであった。それはすべての代数方程式が、その次数と同じ根をもつことを明らかにしたものである。ガウスによれば、この場合の根はa + biの形をしている。aとbは実数で、またiは虚数である。この新しい種類の数は、その後「複素数」とよばれるようになった。
1801年には著書『整数論考究』を出版した。この本の中でガウスは、n個の未知数をもつn個の連立1次方程式をとく正しい方法を発表し、その中で行列式の考えを使っている。
そのころからの彼の関心は純粋数学をはなれて、天文学、測地学、電磁気学などの実用的な方面へ移っていった。そのきっかけは、イタリアのパレルモ天文台のピアッツィが発見した小惑星セレスであった。セレスは数夜観測されただけでみえなくなってしまった。ガウスは数夜の観測だけにもとづいて、セレスが再発見されるべき位置を計算する仕事に没頭した。やがて彼の予言した位置にセレスが発見され、ガウスの名が一躍高まった。
1811年に、ガウス複素数Z = x + Yiの解析関数f(Z)の研究をした。それに関連した「コーシーの定理」はガウスが発見し、のちにフランスのコーシーが再発見したものである。解析関数は重力論、電磁気学、角度をかえない地図の投影(等角写像)の研究に欠くことのできないものである。
これらの研究に関連して、ガウスは「ポテンシャル」という量を考え、それについての基本的な論文を1840年に発表した。重力や電磁気力は大きさと向きをもった量であるのに対して、ポテンシャルは大きさだけをもった量であり、、物理学においてたいへん有用な量である。
また、だ円の周の長さを求める問題と関連したいわゆるだ円積分(だ円関数)の二重周期についてもノルウェーのアーベルやドイツのヤコビに先立ってガウスが発見している。さらにガウスは、非ユークリッド幾何学においてはロシアのロバチェフスキーらに先んじていた。彼がこれらの人たちに先んじていたことは、科学日記あるいは個人あての手紙によって明らかにされたことである。
1820年ころから1850年ころにかけて、ガウスは政府の測地関係の学術顧問を務め、測量や磁気測量の基礎を築いた。
また測量関係の仕事が刺激になって、曲面の幾何学に対する彼の研究がはじまった。曲面の幾何学において彼が導入した重要な考えは「曲率」である。ガウスは曲面上のその点付近の測量だけで曲面の曲率が決められることを明らかにした。
曲面の幾何学と関係して、ガウスは現在「微分幾何学」とよばれている学問の基礎をつくった。ガウスの研究からインスピレーションを受けて、ガウスと同じドイツ人のリーマン(1826〜1866)が1854年に「幾何学の基礎をなす仮説」という論文を書いた。
微分幾何学は抽象的な学問であって、現実の世界とはかかわりがないようにみえる。そうでないことが明らかになったのは20世紀に入ってからである。1910年代にアインシュタインが提唱した「一般相対性理論」では、微分幾何学が重要な役割を演じている。
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ガウスはまた現在「位相幾何学トポロジー)」とよばれている幾何学の研究もした。それは図形や空間を連続的に変形していったとき、その変形にもかかわらず不変な性質を調べる幾何学である。このようなガウスは、数学のさまざまな分野を開き近代数学の始祖になった。

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